Ce qu'on attend en calcul littéral au brevet
Au brevet, le calcul littéral apparaît en exercice dédié et dans les programmes de calcul. Trois savoir-faire reviennent systématiquement :
Les corrigés ci-dessous détaillent chaque étape. Entraîne-toi d'abord seul, puis compare avec la correction.
Développer et réduire — exercices corrigés
Exercice 1. Développer et réduire A = (3x − 2)(x + 5).
Correction : A = 3x×x + 3x×5 − 2×x − 2×5 = 3x² + 15x − 2x − 10. On réduit : 15x − 2x = 13x, d'où A = 3x² + 13x − 10.
Exercice 2. Développer et réduire B = 5(2x − 3) − 2(x − 4).
Correction : B = 10x − 15 − 2x + 8 (attention : −2 × −4 = +8). On réduit : 10x − 2x = 8x et −15 + 8 = −7, d'où B = 8x − 7.
Exercice 3. Développer et réduire C = (x − 4)(2x + 1).
Correction : C = x×2x + x×1 − 4×2x − 4×1 = 2x² + x − 8x − 4. On réduit : x − 8x = −7x, d'où C = 2x² − 7x − 4.
Identités remarquables — exercices corrigés
Exercice 4. Développer D = (x + 6)².
Correction : avec a = x et b = 6 : D = x² + 2×x×6 + 6², d'où D = x² + 12x + 36.
Exercice 5. Développer E = (2x − 3)².
Correction : avec a = 2x et b = 3 : E = (2x)² − 2×(2x)×3 + 3² = 4x² − 12x + 9, d'où E = 4x² − 12x + 9.
Exercice 6. Développer F = (x − 7)(x + 7).
Correction : c'est la forme (a − b)(a + b) = a² − b² avec a = x et b = 7 : F = x² − 7², d'où F = x² − 49.
Factoriser — exercices corrigés
Exercice 7. Factoriser G = 5x + 15.
Correction : 5 est un facteur commun : G = 5×x + 5×3, d'où G = 5(x + 3).
Exercice 8. Factoriser H = x² − 25.
Correction : c'est une différence de deux carrés : H = x² − 5² = (x − 5)(x + 5), d'où H = (x − 5)(x + 5).
Exercice 9. Factoriser I = (2x + 1)(x − 3) + (2x + 1)×4.
Correction : le facteur commun est (2x + 1) : I = (2x + 1)[(x − 3) + 4] = (2x + 1)(x + 1), d'où I = (2x + 1)(x + 1).
Exercice 10. Factoriser J = 9x² − 30x + 25.
Correction : on reconnaît (a − b)² avec a = 3x et b = 5 : J = (3x)² − 2×(3x)×5 + 5², d'où J = (3x − 5)².
Programme de calcul (type brevet) — corrigé
Exercice 11 a) On considère le programme : « Choisir un nombre, lui ajouter 4, multiplier le résultat par 3, puis enlever le triple du nombre de départ. » Montrer que le résultat ne dépend pas du nombre choisi.
Correction : on note x le nombre choisi. Le programme s'écrit 3(x + 4) − 3x = 3x + 12 − 3x = 12. Les termes en x se simplifient : le résultat est toujours 12, quel que soit le nombre de départ.
Exercice 11 b) Un autre programme donne l'expression x² + 2x + 1. Montrer que le résultat est toujours le carré d'un nombre entier si x est entier.
Correction : on reconnaît une identité remarquable : x² + 2x + 1 = (x + 1)². Le résultat est donc le carré de (x + 1) : si x est entier, c'est bien le carré d'un entier.
FAQ — Calcul littéral au brevet
Comment réussir le calcul littéral au brevet ?
Maîtrise trois gestes : développer et réduire, factoriser, et reconnaître les identités remarquables. Entraîne-toi sur des exercices corrigés type brevet et vérifie chaque étape de ton calcul.
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme — par exemple (x − 5)(x + 5) = x² − 25. Factoriser fait l'inverse : transformer une somme en produit — par exemple x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Les identités remarquables sont-elles au programme du brevet ?
Oui, en 3e. Les identités (a+b)², (a−b)² et (a−b)(a+b) servent à développer et à factoriser plus vite, et reviennent régulièrement dans les exercices de calcul littéral du DNB.
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